课程名称：高等数学     适用专业：理工科类相关专业

开课学院：理学院      主讲教师：刘浩月

课程简介：

高等数学课程是高等教育阶段理工科、经管类等众多专业的核心基础课程，旨在帮助学生系统掌握函数极限、微积分、常微分方程等核心知识，面向国家战略需求培养运用数学思维与方法分析、解决专业领域实际问题的能力，为后续专业课程学习与学术研究筑牢数学根基。

在课程思政层面，通过剖析数学定理的推导历程，展现数学家们严谨治学、坚持不懈的科研精神，引导学生树立求真务实的学术态度；结合数学知识在国家重大工程建设、科技创新项目（如航天工程数据计算、人工智能算法优化等）中的应用案例，让学生深刻认识到高等数学的实用价值与国家发展需求的紧密关联，激发学生的民族自豪感与社会责任感，助力学生形成“面向区域发展、面向产业振兴”的价值导向，最终实现知识传授与价值引领的有机统一。

一、章节名称

常数项级数

二、章节教学目标

1. 知识目标

（1）掌握常数项级数的基本概念及敛散性判定定理，理解部分和数列极限与级数收敛的关系。

（2）能熟练运用比较审敛法、比值审敛法等工具判断正项级数的敛散性。

（3）理解绝对收敛与条件收敛的本质区别，掌握交错级数的莱布尼茨判别法。

（4）了解常数项级数在数值计算、信号处理等领域的应用原理。

2. 思政目标

（1）结合“面向学术前沿”，通过介绍常数项级数在现代数学分析（如傅里叶级数展开、函数逼近理论）及交叉学科（如信号处理、量子力学）中的前沿应用，激发学生探索数学学术边界的兴趣，培养创新思维。

（2）围绕“面向国家战略需求”，剖析常数项级数在国家重大工程（如航天飞行器轨道计算中无穷级数近似、大型桥梁结构振动分析的级数建模）中的应用案例，让学生认识到数学知识对国家科技自立自强的支撑作用，增强使命担当。

（3）紧扣“面向区域发展”，以区域内新能源产业（如风力发电功率预测中基于级数的时间序列分析）、智能制造（如机械振动信号降噪的级数展开方法）为例，引导学生思考数学如何服务区域产业升级，培养扎根地方的意识。

（4）立足“面向产业振兴”，邀请企业工程师分享常数项级数在工业数据处理（如产品质量检测中的异常数据筛选）、人工智能算法优化（如神经网络训练中的级数近似计算）中的实际应用，帮助学生建立“数学-产业”联结，提升应用能力。

三、案例设计与内容

1. 情境创设

通过动画演示古代中国“一尺之棰，日取其半”的命题与古希腊芝诺悖论，引出“无穷项相加是否有意义”的核心问题，展示东西方文明对无穷概念的早期探索。

2. 案例导入

以“如何精确计算国家电网输电线路的功率损耗”为显示问题导入，提出“输电路损耗随距离变化呈现分段累加特征，当分段无限细化时，如何用数学工具描述这种无限累加过程”的疑问，引出常数项级数的概念，同时关联“面向国家战略需求”（能源安全）与“面向产业振兴”（电力行业发展），激发学生的学习兴趣。

3. 概念建构

基于部分和数列极限，严格定义常数项级数的收敛性，通过调和级数的发散性（蜗牛爬杆模型）帮助学生直观理解“无穷项相加可能发散”的反直觉现象。

4. 思政融入

（1）介绍沈括在《梦溪笔谈》中对高阶等差级数的研究，对比同时期欧洲数学发展，彰显中华优秀传统文化中的数学智慧。

（2）引用习近平总书记“中华文明历来重视数学应用”的重要论述，强调传承中华优秀传统数学文化的重要性。

5. 案例教学方法

采用“问题驱动+案例研讨+实践操作”的混合教学方法。理论讲解阶段，结合数学史（如欧拉对调和级数发散性的研究、阿贝尔关于级数收敛性的贡献），培养学生严谨治学的科学精神；案例研讨阶段，分组讨论“常数项级数在区域光伏电站发电量预测中的应用”（面向区域发展）、“级数判别法在芯片设计中信号滤波算法的优化”（面向学术前沿），每组推选代表汇报成果；实践操作阶段，指导学生使用数学软件（如Mathematica）验证不同级数的敛散性，模拟工业场景中的级数计算过程，提升实践能力。

图1 教学方法

6. 案例内容

6.1 定理讲授环节：严谨性与创新性的辩证统一

（1）正项级数审敛法

Ø 基础理论环节：系统讲解常数项级数的定义、收敛与发散的判定定理，结合“芝诺悖论”（阿基里斯追龟）帮助学生理解无限累加的本质，强调数学定义的严谨性，呼应“面向学术前沿”中对基础理论研究的重视。

Ø 比较审敛法：结合“绿水青山就是金山银山”理念，用“级数收敛类比生态平衡”的比喻，说明“合理比较才能正确判断”的方法论意义。

Ø 比值审敛法：以芯片制造中晶体管密度的指数增长为例，展示比值极限在科技预测中的应用，引出习近平总书记“科技自立自强是国家发展的战略支撑”的论述。

（2）任意项级数审敛法

Ø 绝对收敛与条件收敛：通过“三峡工程泄洪调度”的案例，说明“绝对收敛对应稳定调度，条件收敛对应动态调整”，培养学生辩证看待问题的能力。

Ø 莱布尼茨判别法：主要内容。

图2 主要内容

6.2 应用实践环节：数学服务国家战略

工程应用案例

Ø 案例1：5G通信中的信号压缩（傅里叶级数展开），对比我国华为与国外企业的技术专利数量，讨论数学基础研究对突破“卡脖子”技术的关键作用。

Ø 案例2：大坝位移监测中的数据处理（级数求和的误差估计），播放乌东德水电站建设纪录片片段，计算“毫米级精度背后的数学保障”。

6.3 总结

（1）知识梳理

通过“级数收敛的充要条件”串联本节课核心内容，形成“定义-判定-应用”的知识体系

（2）思政总结

Ø 辩证思维：用“级数收敛需要通项趋近于零且部分和有界”，类比“个人成长需要目标明确且持续努力”

Ø 价值引领：让学生深刻认识到高等数学的实用价值与国家发展需求的紧密关联，激发学生的民族自豪感与社会责任感，助力学生形成“面向区域发展、面向产业振兴”的价值导向，最终实现知识传授与价值引领的有机统一。

（3）拓展

介绍常数项级数在“国家重大水利工程（如南水北调）输水管道流量计算”中的应用（面向国家战略需求），分析级数敛散性对工程计算精度的影响；以“区域农产品电商平台的订单量预测”为例，展示基于级数的时间序列模型如何助力区域电商产业发展（面向区域发展），让学生真实感受到高数与现实的链接。推荐《中国现代数学家传》和《数学与中国发展》。

7. 教学方法与手段创新

7.1 “三位一体”教学模式

（1）理论教学

采用“问题链驱动”教学法，设计“历史问题-数学建模-现实应用”的递进式问题链，如“古人如何计算圆面积→如何用级数表示π→现代计算机如何通过级数计算π的小数点后百万位”。

图3 理论教学

（2）实践教学

建立“虚拟仿真+真实项目”的实践体系，利用教育教学AI平台，如雨课堂等。

（3）思政教学

实施“显性教育+隐性渗透”双轨制，显性层面专题介绍科学家事迹，隐性层面将思政元素融入案例分析和习题设计。

7.2 数字化教学工具

AI智能教学平台，如雨课堂等，分为课前、课中、课后。可视化软件开发“常数项级数动态演示系统”，可直观展示部分和数列的收敛/发散过程，不同审敛法的适用范围对比级数用的工程场景模拟。

四、教学效果与反思

1. 教学效果

（1）知识层面

通过常数项级数章节结合“四个面向”的案例教学，学生对常数项级数的定义、收敛发散判定标准及各类判别方法的掌握程度显著提升。课后测试数据显示，学生在常数项级数敛散性判别、性质应用类题目中的正确率由教学前的65%提升至92%，能准确区分有限和与无限和的本质差异，并根据级数特点灵活选择比较判别法、比值判别法、莱布尼茨判别法等工具解决问题，课程整体教学目标达成度较高。

图4 课后测试数据

（2）思政认知

学生对数学知识的现实价值有了更深刻的认知，在课堂提问与课后反馈中，85%以上的学生能主动列举常数项级数在实际应用中、学术前沿（如信号处理）等领域的应用场景，民族自豪感与社会责任感明显增强，逐步树立起“数学服务国家发展、助力产业振兴”的价值导向，课程思政目标有效落地。

（3）实践应用

学生使用数学软件模拟工业级数计算过程，学生的团队协作能力与实践操作能力得到锻炼。在课程实践报告中，学生能将常数项级数知识与专业领域问题结合，设计出简单的级数应用方案，体现出较强的知识迁移与应用能力。

2. 教学反思

（1）优势之处

本次教学中“问题驱动+案例研讨”的混合教学方法效果良好，后续可继续保留并优化该模式，尤其要深化思政案例与知识点的融合深度，例如在讲解任意项级数绝对收敛与条件收敛时，可增加更细分领域的案例，进一步拓宽学生视野。

（2）不足改进

一方面，企业参与教学的深度不足，目前仅通过工程师线上分享参与，后续可尝试与本地企业建立长期合作，邀请工程师参与案例设计、实践指导等环节，让学生更直观了解产业实际需求；另一方面，针对“面向区域发展”的实践任务设计较简单，可增加“为区域特色产业（如本地农产品加工、文旅产业）设计级数应用方案”的开放性任务，并引入企业导师评价机制，提升任务的实践性与针对性。

（3）长效优化

可建立教学效果动态跟踪机制，通过定期问卷调查、访谈等方式，了解学生对“四个面向”与数学知识结合的认知变化，以及知识应用能力的提升情况，根据反馈持续调整案例内容与教学方法，确保教学质量长效提升，更好实现知识传授与价值引领的有机统一。

图5 整体框架